2017年第33届CMO第4题的一种做法

By Carzival

题目概述

题目概述

已知圆内接四边形\(ABCD\), 对角线\(AC,BD\)交于点\(P\), \(\triangle{ABP}\)的外接圆交\(AC\)于点\(E\), \(\triangle{CDP}\)的外接圆交\(AC\)于点\(F\). \(\triangle{ABE}\), \(\triangle{CDF}\)的内心分别为点\(I,J\), \(IJ\)交\(AC\)于点\(K\). 求证: \(A,I,K,E\)四点共圆.

开始做题

一方面，有个关于数学家与火灾的笑话告诉我们，处理问题的时候应该多想着把结论往熟悉的地方等价转换。对于几何题而言，假设结论成立，进行反推往往是很有用的方法。

在这道题里，以\(A,I,K,E\)四点共圆为出发点，不用两三下就会发现\(IJ\)是一条难以处理的线段。目前来说，我们遇到了不可克服的困难，只能跳过。

另一方面，对于几何题而言，运用已有条件尽可能地推出一些结论也是必要的。

在此题里，多组共圆创造了绝妙的角度/弦弧关系，然而貌似对于处理IJ暂时没什么用。在这道题里面，我们注意到结论中的\(A,I,E\)三点是熟知结论“内/旁心和南极点圆”的组成部分。那能不能把要证的共圆改为例如\(A,K^{'},P\)共线这样的结论呢？或者是\(I,K^{'},J\)共线呢?不管怎样考虑，南极点大概率会是我们解题的考虑方向。

（以上这些是不管能否做出这道题，都应该独立完成的思考过程。接下来，就是真正能解决问题的思路了。）

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上帝喜欢对称，但是在建造宇宙时候偏离了一点，于是上帝抛弃了整个世界。

对称性，素来是数学，尤其是平面几何所具有的重要特性。图中左右已经很对称了，但是上下恐怕还差点火候。\(AD\)都和圆贴贴了，为什么\(BC\)不行呢？

观察我们刚刚作出来的两个新点（不妨叫点\(M,N\)），和它们的兄弟姊妹（点\(E,F\)）……欸？是不是……\(\angle{DBC}=\angle{DAP}=\angle{EBP}\)！也就是说，\(PM=PE\)，（同理）\(PN=PF\)，再简单导角/三角就能知道\(PE=PF\)了。

谁看到四根共端点的等长线段不会想作个圆出来呢？

画完圆之后，大胆猜测点\(K\)也在\(\odot{P}\)上，这就意味着\(P\)是\(\triangle{MAE}\)的\(A\)-南极点，\(K\)是\(\triangle{MAE}\)的内心，那么有\(M,K,S_{1}\)共线。而若\(A,I,K,E\)四点共圆，容易验证这是正确的。那么我们就成功的通过异于题中条件的方式，唯一地确定了点\(K\)的位置（\(AP\)和\(MS_{1}\)的交点）。接下来，只需确定点\(K\)和\(IJ\)的位置关系即可（在这里也就是\(K\in IJ\)），相比于前面的推导，这里就要简单多了。

至此，我们就解决了这道位于CMO第4题的平面几何。下面是简要的过程。

最终证明

证明：

连接 \(BC.\)

记 \(BD\cap IJ=V.\)

记 \(BC\cap\odot{ABP}=M\not=B,\) \(BC\cap\odot{CDP}=N\not=C.\) \(S_{1},S_{2}\) 分别为 \(\overset{\normalsize{\frown}}{AE},\overset{\normalsize{\frown}}{FD}\) 中点. \(MS_{1}\cap AP=K^{'},\) \(NS_{2}\cap DP=V^{'}.\)

一方面，易知 \(A,I,K^{'},E\in \odot{S_{1}}. D,J,V^{'},F\in \odot{S_{2}}.\)

另一方面，由 \(\angle{PEF}=\angle{ABD}=\angle{ACD}=\angle{PFE}\) 和熟知结论，得 \(PE=PK^{'}=PM=PN=PV^{'}=PF\) \(\Rightarrow P,K^{'},M,N,V^{'},F\in \odot{P}\) \(\Rightarrow \angle{PK^{'}V^{'}}=\frac{1}{2}\angle{APD}=\angle{IK^{'}A},\) \(\angle{PV^{'}K^{'}}=\frac{1}{2}\angle{APD}=\angle{JV^{'}D}\) \(\Rightarrow I,K^{'},V^{'},J\) 共线 \(\Rightarrow K^{'}=K,V^{'}=V.\)

\(\square.\)

个人见解

作为是CMO的第4题，这道题的思路并不复杂，考察的知识也再基础不过了，平面几何基础牢固的选手应该可以在半小时之内完成。像这样考察对称构建、三角形五心的题目近年来还有2019CMO-2等（采用纯几做法），有兴趣的读者不妨自行研究。